La
integración es el proceso inverso a la derivación.
Esto quiere decir: Sea y = f(x) una función. Sea y' = g(x) la derivada de y = f(x). Si calculamos la integral de la función g(x), obtendremos como resultado f(x).
Se comprende mejor el concepto de integral sabiendo que surgió (fue descubierto por Leibnitz y Newton) para resolver problemas de medidas (medir longitudes de curvas, superficies, volúmenes).
La integración es una suma.
Esto quiere decir: Sea y = f(x) una función. Sea y' = g(x) la derivada de y = f(x). Si calculamos la integral de la función g(x), obtendremos como resultado f(x).
Se comprende mejor el concepto de integral sabiendo que surgió (fue descubierto por Leibnitz y Newton) para resolver problemas de medidas (medir longitudes de curvas, superficies, volúmenes).
La integración es una suma.
Estamos de acuerdo con la
siguiente notación:
Es la integral definida de la
función f de [variable] x [los límites] de A a B. Se pretende que la zona entre
la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que
esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante
líneas generales.
El cálculo integral se refiere
al cálculo de integrales tales.
Aspecto geométrico
Para hacer la integral de
manera sistemática "de vuelta al espacio", que es abordado por las
llamadas sumas superior e inferior de rectángulos cada vez más precisos.
Según
integral de Riemann
Por exceso
Las áreas de los rectángulos
ahora se pueden calcular fácilmente, así que tenemos un límite superior y un
límite inferior para la zona.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Análogamente la suma superior
calculada:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Entonces vale:
Para un
enfoque general
Aquí se tiene para la n-esima
suma por defecto
:
y la n-esima suma por exceso
:
Y para sacar el valor exacto
de la Integral, definimos formalmente
que en el caso es la igual.
Primero sacamos por la suma
por exceso:
Con lo que el valor limite
será:
Para la suma por defecto se
tiene
y de todos modos análogamente
Entonces tenemos:
Podemos decir entonces que las integrales
podemos clasificarlas de la siguiente manera:
*Métodos de integración*
En este apartado podrás encontrar demasiadas fórmulas de integración; hay varios tipos de integrales y en ellas se aplican diversos tipos de métodos.
*Integrales Definidas: es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
En este apartado podrás encontrar demasiadas fórmulas de integración; hay varios tipos de integrales y en ellas se aplican diversos tipos de métodos.
*Integrales Definidas: es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
*Integrales trigonométricas:
Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está
compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución tienes
que tomar en cuenta las siguientes formulas:
sen2x + cos2x = 1
1 + tag2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
sen2x = 1/2(1 - cos2x)
cos2x = 1/2(1 + cos2x)
sexcosx = 1/2sen2x
sexcosy = 1/2[sen(x - y) + sen(x + y)]
sexseny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]
cosxcosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]
1 - cosx = 2sen21/2x
1 + cosx = 2cos21/2x
1 + sen x = 1 + cos(1/2p - x)
1 - sen x = 1 - cos(1/2p - x)
sen2x + cos2x = 1
1 + tag2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
sen2x = 1/2(1 - cos2x)
cos2x = 1/2(1 + cos2x)
sexcosx = 1/2sen2x
sexcosy = 1/2[sen(x - y) + sen(x + y)]
sexseny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]
cosxcosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]
1 - cosx = 2sen21/2x
1 + cosx = 2cos21/2x
1 + sen x = 1 + cos(1/2p - x)
1 - sen x = 1 - cos(1/2p - x)
Integrales Por Partes: Se
descompone el integrando en dos partes, u y dv, y utilizamos la fórmula: [udv=uv-[vdu]
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable.
Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable.
Integrales Indefinidas: es el proceso de hallar la primitiva de
una función. Las integrales indefinidas están relacionadas
con las integrales definidas a través del teorema
fundamental del cálculo integral, y proporcionan
un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
*Integral
indefinida
Integral
indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una
función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de
integración.
f(x) es el integrando o función a
integrar.
dx es diferencial de x, e
indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración
y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva
de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x)
+ C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta
basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral
de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales
de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx
=∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral
del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral
de la función.
∫ k f(x) dx = k
∫f(x) dx
Bibliografía
No hay comentarios:
Publicar un comentario